Τετραγωνικές εξισώσεις (FULL): Ορισμός, τύποι, παραδείγματα προβλημάτων

Τετραγωνική εξίσωση είναι μια από τις μαθηματικές εξισώσεις της μεταβλητής που έχει την υψηλότερη ισχύ των δύο.

Η γενική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης ή PK έχει ως εξής:

τσεκούρι2 + bx + c = 0

με Χ είναι μια μεταβλητή, ένα, σι είναι ο συντελεστής, και ντο είναι μια σταθερά. Η τιμή του α δεν είναι ίση με το μηδέν.

Σχήματα γραφήματος

Εάν μια τετραγωνική εξίσωση περιγράφεται σε όρους καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y), θα σχηματίσει ένα παραβολικό γράφημα. Ως εκ τούτου, οι τετραγωνικές εξισώσεις αναφέρονται επίσης συχνά ως παραβολική εξίσωση.

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα της μορφής αυτής της εξίσωσης με τη μορφή παραβολικού γραφήματος.

Στη γενικευμένη εξίσωση της αξίας ένα, σι, και ντο επηρεάζει σε μεγάλο βαθμό το προκύπτον παραβολικό πρότυπο.

Σκορ ένα προσδιορίστε την κοίλη ή κυρτή καμπύλη της παραβολής. Εάν η τιμή είναι από α> 0, τότε η παραβολή θα ανοιχτό προς τα πάνω (κοίλο). Διαφορετικά, εάν ένα <0, τότε η παραβολή θα προς τα κάτω ανοιχτό (κυρτό).

Σκορ σι στην εξίσωση καθορίζει την κορυφαία θέση της παραβολής. Με άλλα λόγια, ο προσδιορισμός της αξίας του άξονα της συμμετρίας της καμπύλης είναι ίσος με Χ =-σι/2α.

Σταθερή τιμή ντο στο γράφημα καθορίζει η εξίσωση η τομή της συνάρτησης παραβολής με τον άξονα y. Το παρακάτω είναι ένα παραβολικό γράφημα με αλλαγές σε σταθερές τιμές ντο.

Ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης (PK)

Η λύση στην τετραγωνική εξίσωση ονομάζεται akar-η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης.

Διάφορες ρίζες PK

Τα είδη των ριζών PK μπορούν να βρεθούν εύκολα χρησιμοποιώντας τον γενικό τύπο D = b2 - 4ac από τη γενική εξίσωση για το τετραγωνικό ax2 + bx + c = 0.

Τα παρακάτω είναι τα είδη των ριζών των τετραγωνικών εξισώσεων.

1. Πραγματική ρίζα (D> 0)

Εάν η τιμή D> 0 από ένα PK, θα παράγει πραγματικές ρίζες εξίσωσης αλλά θα έχει διαφορετικές ρίζες. Με άλλα λόγια, το x1 δεν είναι το ίδιο με το x2.

Παράδειγμα της πραγματικής εξίσωσης ρίζας (D> 0)

Βρείτε τον τύπο ρίζας της εξίσωσης x2 + 4x + 2 = 0.

Επίλυση:

a = 1; b = 4; και c = 2

D = b2 - 4ac

Δ = 42 - 4 (1) (2)

Δ = 16 - 8

Δ = 8

Έτσι, δεδομένου ότι η τιμή D> 0, η ρίζα είναι τύπου πραγματικής ρίζας.

2. Η πραγματική ρίζα ισούται με x1 = x2 (D = 0)

Είναι ένας τύπος ρίζας μιας τετραγωνικής εξίσωσης που παράγει ρίζες με την ίδια τιμή (x1 = x2).

Παράδειγμα πραγματικών ριζών (D = 0)

Βρείτε την τιμή ρίζας PK 2x2 + 4x + 2 = 0.

Επίλυση:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

Δ = 42 - 4 (2) (2)

Δ = 16 - 16

Δ = 0

Έτσι, επειδή η τιμή D = 0, αποδεικνύεται ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και αδελφοποιημένες.

3. Φανταστικές ρίζες / μη πραγματικές (D <0)

Εάν η τιμή του D <0, τότε η ρίζα της τετραγωνικής εξίσωσης θα είναι φανταστική / όχι πραγματική.

Παράδειγμα φανταστικών ριζών (D <0) /

Βρείτε τον τύπο ρίζας της εξίσωσης x2 + 2x + 4 = 0.

Επίλυση:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

Δ = 22 - 4 (1) (4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

Έτσι, δεδομένου ότι η τιμή του D <0, η ρίζα της εξίσωσης είναι μια μη πραγματική ή φανταστική ρίζα.

Βρείτε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης

Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Μεταξύ αυτών είναι η παραγοντοποίηση, τα τέλεια τετράγωνα και η χρήση του τύπου abc.

Το παρακάτω περιγράφει διάφορες μεθόδους για την εξεύρεση ριζών εξισώσεων.

1. Παραγοντοποίηση

Factorization / factoring είναι μια μέθοδος εύρεσης ριζών με αναζητώντας μια τιμή που, εάν πολλαπλασιαστεί, θα παράγει μια άλλη τιμή.

Υπάρχουν τρεις μορφές τετραγωνικών εξισώσεων (PK) με διαφορετική παραγοντοποίηση ρίζας, δηλαδή:

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα προβλήματος σχετικά με τη χρήση της μεθόδου παραγοντοποίησης σε τετραγωνικές εξισώσεις.

Λύστε την τετραγωνική εξίσωση 5x2+ 13x + 6 = 0 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο παραγοντοποίησης.

Επίλυση:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 ή x = -2

Έτσι, το αποτέλεσμα της λύσης είναι x = -3/5 ή x = -2

2. Τέλεια τετράγωνα

Μορφή τέλεια τετράγωνα είναι μια μορφή τετραγωνικής εξίσωσης που είναι αποδίδει έναν λογικό αριθμό.

Τα αποτελέσματα μιας τέλειας τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιούν γενικά τον ακόλουθο τύπο:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Η γενική λύση στην τέλεια τετραγωνική εξίσωση έχει ως εξής:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

με (x + p) 2 = q, και στη συνέχεια:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα προβλήματος σχετικά με τη χρήση της μεθόδου της τέλειας εξίσωσης.

Λύστε την εξίσωση x2 + 6x + 5 = 0 χρησιμοποιώντας την τέλεια μέθοδο τετραγωνικής εξίσωσης!

Επίλυση:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Το επόμενο βήμα, δηλαδή προσθέστε έναν αριθμό στα δεξιά και αριστερά τμήματα, ώστε να μπορούν να αλλάξουν σε τέλειο τετράγωνο.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Έτσι, το τελικό αποτέλεσμα είναι x = -1 ή x = -5

3. Τετραγωνικοί τύποι ABC

Ο τύπος abc είναι μια εναλλακτική επιλογή όταν η τετραγωνική εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί με παραγοντοποίηση ή τέλειες τετραγωνικές μεθόδους.

Εδώ είναι ο τύπος τύπου α Β Γ στην τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0.

Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας έναν τύπο α Β Γ.

Λύστε την εξίσωση x2 + 4x - 12 = 0 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τύπου abc!

Επίλυση:

x2 + 4x - 12 = 0

όπου a = 1, b = 4, c = -12

Κατασκευή μιας νέας τετραγωνικής εξίσωσης

Αν στο παρελθόν μάθαμε πώς να βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης, τότε τώρα θα μάθουμε να συνθέτουμε την τετραγωνική εξίσωση από τις ρίζες που ήταν προηγουμένως γνωστές.

Εδώ είναι μερικοί τρόποι για να δημιουργήσετε ένα νέο PK.

1.Κατασκευάστε την εξίσωση όταν γνωρίζετε τις ρίζες

Εάν μια εξίσωση έχει ρίζες x1 και x2, τότε η εξίσωση για αυτές τις ρίζες μπορεί να εκφραστεί σε όρους

(x- x₁) (x- x)₂)=0

Παράδειγμα:

Βρείτε μια τετραγωνική εξίσωση όπου οι ρίζες είναι μεταξύ -2 και 3.

Επίλυση:

Χ₁ = -2 και x₂=3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Έτσι, το αποτέλεσμα της εξίσωσης για αυτές τις ρίζες είναι x2-x-6 = 0

2.Δημιουργήστε μια τετραγωνική εξίσωση όταν γνωρίζετε το άθροισμα και το προϊόν των ριζών

Εάν οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης με τον αριθμό και τους χρόνους x1 και x2 είναι γνωστές, τότε η τετραγωνική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί στην ακόλουθη μορφή.

x2- (x₁₊ Χ₂) x + (x_1.Χ₂)=0

Παράδειγμα:

Βρείτε μια τετραγωνική εξίσωση με τις ρίζες 3 και 1/2.

Επίλυση:

Χ₁= 3 και x₂= -1/2

Χ₁₊ Χ₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

Χ_1.Χ₂ = 3 (-1/2) = -3/2

Έτσι, η τετραγωνική εξίσωση είναι:

x2- (x₁₊ Χ₂) x + (x_1.Χ₂)=0

x2–5/2 x - 3/2 = 0 (κάθε πλευρά πολλαπλασιάζεται επί 2)

2x2-5x-3 = 0

Έτσι, η τετραγωνική εξίσωση για τις ρίζες 3 και 1/2 είναι 2x2-5x-3 = 0.