Η εξίσωση για έναν κύκλο έχει τη γενική μορφή x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της ακτίνας και του κέντρου ενός κύκλου.
Η εξίσωση κύκλου που θα μάθετε παρακάτω έχει διάφορες μορφές. Σε διαφορετικές περιπτώσεις, η εξίσωση μπορεί να είναι διαφορετική. Επομένως, κατανοήστε το καλά, ώστε να μπορείτε να το απομνημονεύσετε από καρδιάς.
Ένας κύκλος είναι ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται σε ίση απόσταση από ένα σημείο. Οι συντεταγμένες αυτών των σημείων καθορίζονται μέσω της διάταξης των εξισώσεων. Αυτό καθορίζεται με βάση το μήκος της ακτίνας και τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου.
Εξισώσεις κύκλου
Υπάρχουν διάφορα είδη ομοιότητας, δηλαδή εξίσωση που σχηματίζεται από το κεντρικό σημείο και την ακτίνα και μια εξίσωση που μπορεί να βρεθεί το κεντρικό σημείο και την ακτίνα.
Η γενική εξίσωση για έναν κύκλο
Υπάρχει μια γενική εξίσωση, όπως παρακάτω:
Κρίνοντας από την παραπάνω εξίσωση, το κεντρικό σημείο και η ακτίνα μπορούν να προσδιοριστούν, είναι:
Το κέντρο του κύκλου είναι:
Στο κέντρο του P (a, b) και της ακτίνας r
Από έναν κύκλο, εάν γνωρίζετε το κεντρικό σημείο και την ακτίνα, θα λάβετε τον τύπο:
Εάν γνωρίζετε το κεντρικό σημείο ενός κύκλου και την ακτίνα του κύκλου όπου (a, b) είναι το κέντρο και το r είναι η ακτίνα του κύκλου.
Από την εξίσωση που ελήφθη παραπάνω, μπορούμε να προσδιορίσουμε εάν η συμπερίληψη του σημείου βρίσκεται στον κύκλο, ή μέσα ή έξω. Για να προσδιορίσετε τη θέση του σημείου, χρησιμοποιώντας την υποκατάσταση σημείου στις μεταβλητές x και y και στη συνέχεια συγκρίνοντας τα αποτελέσματα με το τετράγωνο της ακτίνας του κύκλου.
Ένα σημείο M (x1, γ1) βρίσκεται:
Στον κύκλο:
Μέσα στον κύκλο:
Έξω από τον κύκλο:
Στο με κέντρο O (0,0) και ακτίνα r
Εάν το κεντρικό σημείο είναι στο O (0,0), τότε κάντε την αντικατάσταση στο προηγούμενο μέρος, δηλαδή:
Από την παραπάνω εξίσωση, μπορεί να προσδιοριστεί η θέση ενός σημείου στον κύκλο.
Ένα σημείο M (x1, γ1) βρίσκεται:
Στον κύκλο:
Μέσα στον κύκλο:
Εκτός κύκλου: Διαβάστε επίσης: Τέχνη είναι: Ορισμός, Λειτουργία, Τύποι και παραδείγματα [FULL]
Η γενική μορφή της εξίσωσης μπορεί να εκφραστεί στις ακόλουθες μορφές.
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 ή
X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 ή
X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, όπου P = -2a, Q = -2b και S = a2 + b2 - r2
Η διασταύρωση γραμμών και κύκλων
Ένας κύκλος με την εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + C = 0 μπορεί να προσδιοριστεί εάν μια γραμμή h με την εξίσωση y = mx + n δεν την αγγίζει, προσβάλλει ή τέμνει χρησιμοποιώντας την αρχή της διάκρισης.
……. (εξίσωση 1)
…… .. (εξίσωση 2)
Αντικαθιστώντας την εξίσωση 2 στην εξίσωση 1, θα λάβετε μια τετραγωνική εξίσωση, δηλαδή:
Από την παραπάνω τετραγωνική εξίσωση, συγκρίνοντας τις διακριτικές τιμές, μπορεί να φανεί αν η γραμμή δεν προσβάλλει / τέμνει, προσβάλλει ή τέμνει τον κύκλο.
Η γραμμή h δεν τέμνει / προσβάλλει τον κύκλο, οπότε D <0
Η γραμμή h είναι εφαπτομένη στον κύκλο, έτσι D = 0
Η γραμμή h τέμνει τον κύκλο, οπότε D> 0
Εξισώσεις εφαπτομένων με κύκλους
1. Εξίσωση εφαπτομένων μέσω ενός σημείου στον κύκλο
Οι εφαπτόμενες σε έναν κύκλο συναντούν ακριβώς ένα σημείο που βρίσκεται στον κύκλο. Από το σημείο τομής της εφαπτομένης και του κύκλου, μπορεί να προσδιοριστεί η εξίσωση της εφαπτομένης γραμμής.
Η εξίσωση για την εφαπτομένη στον κύκλο που διέρχεται από το σημείο P (x)1, γ1), μπορεί να προσδιοριστεί, δηλαδή:
- Μορφή
Η εξίσωση της εφαπτομένης
- Μορφή
Η εξίσωση της εφαπτομένης
- Μορφή
Η εξίσωση της εφαπτομένης
Παράδειγμα προβλημάτων:
Η εξίσωση για την εφαπτομένη μέσω του σημείου (-1,1) στον κύκλο
είναι:
Απάντηση:
Μάθετε την εξίσωση για τον κύκλο
όπου A = -4, B = 6 και C = -12 και x1 = -1, ε1 = 1
Το PGS είναι
Έτσι, η εξίσωση της εφαπτομένης είναι
2. Η εξίσωση εφάπτεται στην κλίση
Εάν μια γραμμή με κλίση m είναι εφαπτομένη σε κύκλο,
τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:
Αν είναι ένας κύκλος,
τότε η εξίσωση της εφαπτομένης:
Αν είναι ένας κύκλος,
τότε η εξίσωση της εφαπτομένης αντικαθιστώντας το r με,
έτσι ώστε:
ή
3. Εξισώσεις εφαπτομένων σε σημεία έξω από τον κύκλο
Από ένα σημείο έξω από τον κύκλο, μπορούν να σχεδιαστούν δύο εφαπτόμενες στον κύκλο.
Διαβάστε επίσης: Δημοκρατία: Ορισμός, Ιστορία και Τύποι [FULL]Για να βρείτε την εφαπτομένη εξίσωση, χρησιμοποιείται ο κανονικός τύπος εξίσωσης γραμμής, δηλαδή:
Ωστόσο, από αυτόν τον τύπο, η τιμή της κλίσης της γραμμής δεν είναι γνωστή. Για να βρείτε την κλίση της γραμμής, αντικαταστήστε την εξίσωση για την εξίσωση κύκλου. Επειδή η γραμμή είναι εφαπτομένη, τότε από την εξίσωση το αποτέλεσμα της αντικατάστασης της τιμής D = 0 και η τιμή του m θα ληφθεί
Παράδειγμα προβλημάτων
Παράδειγμα Πρόβλημα 1
Ένας κύκλος έχει ένα κεντρικό σημείο (2, 3) και έχει διάμετρο 8 cm. Η εξίσωση του κύκλου είναι ...
Συζήτηση:
Επειδή d = 8 σημαίνει r = 8/2 = 4, έτσι η εξίσωση για τον κύκλο που σχηματίζεται είναι
(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42
x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16
x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0
Παράδειγμα Πρόβλημα 2
Προσδιορίστε τη γενική εξίσωση για τον κύκλο στο κέντρο (5,1) και την προσβλητική γραμμή 3Χ– 4γ+ 4 = 0!
Συζήτηση:
Αν γνωρίζετε το κέντρο του κύκλου (ένα,σι) = (5,1) και η εφαπτομένη στον κύκλο 3Χ– 4γ+ 4 = 0, τότε η ακτίνα του κύκλου διαμορφώνεται ως εξής.
Έτσι, η γενική εξίσωση για τον κύκλο έχει ως εξής.
Έτσι, η γενική εξίσωση για έναν κύκλο στο κέντρο του σημείου (5,1) και της προσβλητικής γραμμής 3Χ– 4γ+4 = 0 είναι
Παράδειγμα Πρόβλημα 3
Βρείτε τη γενική εξίσωση για έναν κύκλο στο κέντρο (-3,4) και προσβάλλοντας τον άξονα Υ!
Συζήτηση:
Πρώτα απ 'όλα, ας σχεδιάσουμε πρώτα το γράφημα του κύκλου, που είναι κεντραρισμένο στο (-3,4) και προσβάλλει τον άξονα Υ!
Με βάση την παραπάνω εικόνα, μπορεί να φανεί ότι το κέντρο του κύκλου βρίσκεται σε συντεταγμένη (-3,4) με ακτίνα 3, έτσι ώστε:
Έτσι, η γενική εξίσωση που επικεντρώνεται στο (-3,4) και προσβάλλει τον άξονα Υ είναι
Σε ορισμένες περιπτώσεις, η ακτίνα του κύκλου δεν είναι γνωστή, αλλά η εφαπτομένη είναι γνωστή. Λοιπόν, πώς να προσδιορίσετε την ακτίνα του κύκλου; Κοιτάξτε την παρακάτω εικόνα.
Η παραπάνω εικόνα δείχνει ότι η γραμμή είναι εφαπτομένη στην εξίσωση px+ qy+ ρ= 0 προσβάλλει τον κύκλο στο κέντρο του C (α, β). Η ακτίνα μπορεί να προσδιοριστεί με την ακόλουθη εξίσωση.α, β). Η ακτίνα μπορεί να προσδιοριστεί με την ακόλουθη εξίσωση.
Μπορεί να είναι χρήσιμο.
