Μερικοί ακέραιοι, υποκατάστατοι, αόριστοι και τριγωνομετρικοί τύποι

Θα μελετήσουμε τους ολοκληρωμένους τύπους με τη μορφή μερικών ολοκληρωμάτων, υποκατάστασης, αόριστης και τριγωνομετρίας στην παρακάτω συζήτηση. Ακούστε προσεκτικά!

Το ακέραιο είναι μια μορφή μαθηματικής λειτουργίας που είναι το αντίστροφο ή το αντίστροφο των παραγώγων και οριοθετεί τις λειτουργίες ενός συγκεκριμένου αριθμού ή περιοχής. Στη συνέχεια επίσης χωρίζεται σε δύο, δηλαδή αόριστο ακέραιο και οριστικό ακέραιο.

Ένα αόριστο ολοκλήρωμα αναφέρεται στον ορισμό ενός ακέραιου ως το αντίστροφο (αντίστροφο) του παραγώγου, ενώ ένα ακέραιο ορίζεται ως το άθροισμα μιας περιοχής που οριοθετείται από μια συγκεκριμένη καμπύλη ή εξίσωση.

Το Integral χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς. Για παράδειγμα στα μαθηματικά και τη μηχανική, τα ολοκληρώματα χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του όγκου ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου και της περιοχής σε μια καμπύλη.

Στον τομέα της φυσικής, η χρήση ολοκληρωμάτων χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό και την ανάλυση κυκλωμάτων ηλεκτρικών ρευμάτων, μαγνητικών πεδίων και άλλων.

Γενική ολοκληρωμένη φόρμουλα

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια απλή συνάρτηση. Το ολοκλήρωμα της συνάρτησης είναι

Πληροφορίες:

• k: συντελεστής
• x: μεταβλητή
• n: η ισχύς / βαθμός της μεταβλητής
• C: σταθερά

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια συνάρτηση f (x). Εάν πρόκειται να προσδιορίσουμε την περιοχή που οριοθετείται από το γράφημα f (x), τότε μπορεί να προσδιοριστεί από

όπου a και b είναι οι κατακόρυφες γραμμές ή τα όρια περιοχής που υπολογίζονται από τον άξονα x. Ας υποθέσουμε ότι το ακέραιο του f (x) συμβολίζεται με F (x) ή εάν είναι γραμμένο

έπειτα

Πληροφορίες:

• a, b: άνω και κάτω όρια του ακέραιου
• f (x): εξίσωση καμπύλης
• F (x): η περιοχή κάτω από την καμπύλη f (x)

Ολοκληρωμένες ιδιότητες

Ορισμένες από τις ενσωματωμένες ιδιότητες έχουν ως εξής:

Αόριστη ολοκλήρωση

Ένα αόριστο ακέραιο είναι το αντίθετο ενός παραγώγου. Μπορείτε να το ονομάσετε αντιπαραγωγικό ή αντιπαραγωγικό.

Διαβάστε επίσης: Συστηματική επιστολών αίτησης εργασίας (+ καλύτερα παραδείγματα)

Η αόριστη ολοκλήρωση μιας συνάρτησης οδηγεί σε μια νέα συνάρτηση που δεν έχει σταθερή τιμή επειδή εξακολουθούν να υπάρχουν μεταβλητές στη νέα συνάρτηση. Η γενική μορφή του ακέραιου είναι φυσικά.

Αόριστος ακέραιος τύπος:

Πληροφορίες:

• f (x): εξίσωση καμπύλης
• F (x): η περιοχή κάτω από την καμπύλη f (x)
• C: σταθερά

Παραδείγματα αόριστων ολοκληρωμάτων:

Ολοκληρωμένη υποκατάσταση

Ορισμένα προβλήματα ή ολοκληρώματα μιας συνάρτησης μπορούν να επιλυθούν με τον ακέραιο τύπο αντικατάστασης εάν υπάρχει πολλαπλασιασμός της συνάρτησης με μία από τις συναρτήσεις να είναι παράγωγο μιας άλλης συνάρτησης.

Εξετάστε τα ακόλουθα παραδείγματα:

Υποθέτουμε ότι U = ½ x2 + 3 τότε dU / dx = x

Έτσι ώστε x dx = dU

Η ολοκληρωμένη εξίσωση για την αντικατάσταση γίνεται

= -2 cos U + C = -2 cos (½ x2 + 3) + C

Παράδειγμα

ας πούμε 3x2 + 9x -1 ως u

έτσι du = 6x + 9

2x + 3 = 1/3 (6x + 9) = 1/3 du

στη συνέχεια αντικαθιστούμε το u ξανά με 3x2 + 9x -1, ώστε να έχουμε την απάντηση:

Μερική ολοκλήρωση

Οι μερικοί ακέραιοι τύποι χρησιμοποιούνται συνήθως για την επίλυση του ολοκλήρου του πολλαπλασιασμού δύο συναρτήσεων. Γενικά, τα μερικά ολοκληρώματα ορίζονται ως

Πληροφορίες:

• Συνάρτηση U, V:
• dU, dV: παράγωγο της συνάρτησης U και παράγωγο της συνάρτησης V

Παράδειγμα

Ποιο είναι το αποτέλεσμα του sin (3x + 2) sin (3x + 2) dx;

Επίλυση:

Παράδειγμα

u = 3x + 2

dv = sin (3x + 2) dx

Επειτα

du = 3 dx

v = ʃ sin (3x + 2) dx = - ⅓ cos (3x + 2)

Ετσι ώστε

∫ u dv = uv - ∫v du

∫ u dv = (3x + 2). (- ⅓ cos (3x + 2)) - ∫ (- ⅓ cos (3x + 2)). 3 dx

∫ dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + ⅓. ⅓ sin (3x + 2) + C

∫ u dv = - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ sin (3x + 2) + C

Έτσι, το προϊόν sin (3x + 2) sin (3x + 2) dx είναι - (x + 2 /₃). cos (3x + 2) + 1 /₉ sin (3x + 2) + C.

Διαβάστε επίσης: Χαρακτηριστικά των πλανητών στο ηλιακό σύστημα (ΠΛΗΡΕΣ) με εικόνες και επεξηγήσεις

Τριγωνομετρικό ακέραιο

Ολοκληρωμένοι τύποι μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η λειτουργία των τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων πραγματοποιείται με την ίδια έννοια των αλγεβρικών ολοκληρωμάτων, που είναι το αντίστροφο της παραγώγου. μέχρι να συναχθεί το συμπέρασμα ότι:

Προσδιορισμός της εξίσωσης καμπύλης

Οι κλίσεις και οι εξισώσεις εφαπτόμενες για καμπύλη σε ένα σημείο. Εάν y = f (x), η κλίση της εφαπτομένης προς την καμπύλη σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης είναι y '= f' (x). Επομένως, εάν η κλίση της εφαπτομένης είναι γνωστή, η εξίσωση καμπύλης μπορεί να προσδιοριστεί με τον ακόλουθο τρόπο.

y = ʃ f '(x) dx = f (x) + γ

Εάν γνωρίζετε ένα από τα σημεία μέσω της καμπύλης, μπορείτε να βρείτε την τιμή του c, έτσι ώστε να μπορεί να προσδιοριστεί η εξίσωση της καμπύλης.

Παράδειγμα

Η κλίση της εφαπτομένης προς την καμπύλη στο σημείο (x, y) είναι 2x - 7. Εάν η καμπύλη διέρχεται από το σημείο (4, –2), βρείτε την εξίσωση της καμπύλης.

Απάντηση:

f '(x) = = 2x - 7

y = f (x) = ʃ (2x - 7) dx = x2 - 7x + c.

Επειδή η καμπύλη μέσω του σημείου (4, –2)

τότε: f (4) = –2 ↔ 42 - 7 (4) + c = –2

–12 + c = –2

c = 10

Έτσι, η εξίσωση καμπύλης είναι y = x2 - 7x + 10.

Έτσι, η συζήτηση σχετικά με διάφορους αναπόσπαστους τύπους, ελπίζουμε ότι είναι χρήσιμη