Η μαθηματική επαγωγή είναι μια αφαιρετική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την απόδειξη αληθών ή ψευδών δηλώσεων.
Πρέπει να έχετε σπουδάσει μαθηματική εισαγωγή στο γυμνάσιο. Όπως γνωρίζουμε, η μαθηματική επαγωγή είναι μια επέκταση της μαθηματικής λογικής.
Στην εφαρμογή της, η μαθηματική λογική χρησιμοποιείται για τη μελέτη δηλώσεων που έχουν ψευδείς ή αληθείς τιμές, ισοδύναμα ή άρνηση και συνάγουν συμπεράσματα.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Η μαθηματική επαγωγή είναι μια αφαιρετική μέθοδος που χρησιμοποιείται για την απόδειξη αληθών ή ψευδών δηλώσεων.
Στη διαδικασία, τα συμπεράσματα αντλούνται βάσει της εγκυρότητας των γενικά αποδεκτών δηλώσεων, έτσι ώστε συγκεκριμένες δηλώσεις μπορούν επίσης να είναι αληθείς. Επιπλέον, μια μεταβλητή στη μαθηματική επαγωγή θεωρείται επίσης μέλος του συνόλου των φυσικών αριθμών.
Βασικά, υπάρχουν τρία βήματα στη μαθηματική επαγωγή προκειμένου να αποδειχθεί εάν ένας τύπος ή δήλωση μπορεί να είναι αληθινός ή αντίστροφα.
Αυτά τα βήματα είναι:
- Αποδείξτε ότι μια δήλωση ή τύπος ισχύει για το n = 1.
- Ας υποθέσουμε ότι μια δήλωση ή ο τύπος ισχύει για το n = k.
- Αποδείξτε ότι μια δήλωση ή τύπος είναι αληθής για n = k + 1.
Από τα παραπάνω βήματα, μπορούμε να υποθέσουμε ότι μια δήλωση πρέπει να είναι επαληθεύσιμη για n = k και n = k + 1.
Τύποι μαθηματικής επαγωγής
Υπάρχουν διάφορα είδη μαθηματικών προβλημάτων που μπορούν να επιλυθούν μέσω της μαθηματικής επαγωγής. Επομένως, η μαθηματική επαγωγή μπορεί να χωριστεί σε τρεις τύπους, δηλαδή σειρές, διαίρεση και ανισότητες.
1. Σειρά
Σε αυτόν τον τύπο σειρών, συνήθως το μαθηματικό επαγωγικό πρόβλημα βρίσκεται με τη μορφή διαδοχικής προσθήκης.
Έτσι, στο πρόβλημα της σειράς, η αλήθεια πρέπει να αποδειχθεί στον πρώτο όρο, στον όρο k και στον όρο (k + 1).
2. Διαίρεση
Οι τύποι επαγωγής μαθηματικών διαίρεσης μπορούν να βρεθούν σε διάφορα προβλήματα που χρησιμοποιούν τις ακόλουθες προτάσεις:
- α διαιρείται με β
- β συντελεστής α
- β διαιρεί a
- πολλαπλάσια β
Αυτά τα τέσσερα χαρακτηριστικά δείχνουν ότι η δήλωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή τύπου-διαίρεσης.
Το πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι, εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b τότε α = π.μ. όπου το m είναι ακέραιος.
3. Ανισότητες
Ο τύπος ανισότητας υποδεικνύεται από ένα σύμβολο που είναι περισσότερο ή λιγότερο από αυτό της δήλωσης.
Υπάρχουν ιδιότητες που χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση μαθηματικών επαγωγικών τύπων ανισοτήτων. Αυτά τα χαρακτηριστικά είναι:
- α> β> γ ⇒ α> γ ή a <b <c ⇒ a <c
- ένα 0 ⇒ ac <bc ή a> b και c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c ή a> b ⇒ a + c> b + c
Παραδείγματα μαθηματικών επαγωγικών προβλημάτων
Το παρακάτω είναι ένα παράδειγμα προβλήματος, ώστε να μπορείτε να καταλάβετε καλύτερα πώς να λύσετε μια απόδειξη τύπου χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή.
Σειρά
Παράδειγμα 1
Αποδείξτε 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1), για κάθε n φυσικούς αριθμούς.
Απάντηση:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Θα αποδειχθεί ότι το n = (n) ισχύει για κάθε n ∈ N
Το πρώτο βήμα :
Θα δείξει ότι το n = (1) είναι σωστό
2 = 1(1 + 1)
Έτσι, το P (1) είναι σωστό
Δεύτερο βήμα :
Ας υποθέσουμε ότι το n = (k) είναι αληθές, δηλαδή
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Τρίτο βήμα
Θα δείξει ότι το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια, δηλαδή
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Από τις παραδοχές:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Προσθέστε και τις δύο πλευρές με το uk + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Έτσι, το n = (k + 1) είναι σωστό
Παράδειγμα 2
Χρησιμοποιήστε μαθηματική επαγωγή για να αποδείξετε εξισώσεις
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 για όλους τους ακέραιους αριθμούς ν ≥ 1.
Απάντηση:
Το πρώτο βήμα :Θα δείξει ότι το n = (1) είναι σωστό
S1 = 1 = 12
Δεύτερο βήμα
Ας υποθέσουμε ότι το n = (k) είναι αλήθεια, δηλαδή
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Τρίτο βήμα
Αποδείξτε ότι το n = (k + 1) είναι αλήθεια
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
θυμηθείτε ότι 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
έπειτα
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
τότε αποδεικνύεται η παραπάνω εξίσωση
Παράδειγμα 3
Απόδειξε το 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 αλήθεια, για κάθε n φυσικούς αριθμούς
Απάντηση:
Το πρώτο βήμα :
Θα δείξει ότι το n = (1) είναι σωστό
1 = 12
Έτσι, το P (1) είναι σωστό
Δεύτερο βήμα:
Ας υποθέσουμε ότι το n = (k) είναι αλήθεια, δηλαδή
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Τρίτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια, δηλαδή
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Από τις παραδοχές:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Προσθέστε και τις δύο πλευρές με το uk + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Έτσι, το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια
Διαίρεση
Παράδειγμα 4
Αποδείξτε ότι το n3 + 2n διαιρείται με 3, για κάθε n φυσικούς αριθμούς
Απάντηση:
Το πρώτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (1) είναι σωστό
13 + 2.1 = 3 = 3.1
Έτσι, το n = (1) είναι σωστό
Διαβάστε επίσης: Κατανόηση και χαρακτηριστικά της Κομμουνιστικής Ιδεολογίας + ΠαραδείγματαΔεύτερο βήμα:
Ας υποθέσουμε ότι το n = (k) είναι αλήθεια, δηλαδή
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Τρίτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια, δηλαδή
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Δεδομένου ότι το m είναι ακέραιος και το k είναι ένας φυσικός αριθμός, (m + k2 + k + 1) είναι ακέραιος.
Ας υποθέσουμε ότι p = (m + k2 + k + 1), τότε
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, όπου p ∈ ZZ
Έτσι, το n = (k + 1) είναι σωστό
Ανισότητα
Παράδειγμα 5
Αποδείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 2 είναι έγκυρο
3n> 1 + 2n
Απάντηση:
Το πρώτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (2) είναι σωστό
32 = 9 > 1 + 2.2 = 5
Έτσι, το P (1) είναι σωστό
Δεύτερο βήμα:
Ας υποθέσουμε ότι το n = (k) είναι αλήθεια, δηλαδή
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Τρίτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια, δηλαδή
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (επειδή 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (επειδή 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Έτσι, το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια
Παράδειγμα 6
Αποδείξτε ότι για κάθε φυσικό αριθμό n ≥ 4 είναι έγκυρη
(ν + 1)! > 3n
Απάντηση:
Το πρώτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (4) είναι σωστό
(4 + 1)! > 34
αριστερή πλευρά: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
δεξιά πλευρά: 34 = 81
Έτσι, το n = (4) είναι σωστό
Δεύτερο βήμα:
Ας υποθέσουμε ότι το n = (k) είναι αλήθεια, δηλαδή
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Τρίτο βήμα:
Θα δείξει ότι το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια, δηλαδή
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (επειδή (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (επειδή k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Έτσι, το n = (k + 1) είναι επίσης αλήθεια
